Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.

--- techniken:catmullrom [2014/12/02 12:17]
c.jaedicke
+++ techniken:catmullrom [2016/01/21 12:45] (aktuell)
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 Aus der oben genannten Herleitung erhalten wir die Basisfunktionen (In der numerischen analysis auch "blending functions" genannt) der Kurve:
-\begin{align*}
+\begin{equation*}
+Mu =
 \begin{bmatrix}
-−\tau u+2\tau u^2 −\tau u^3  \\\\
+−\tau u+2\tau u^2 −\tau u^3  \\
-+(\tau−3)u^2+(2−\tau)u^3  \\\\
++(\tau−3)u^2+(2−\tau)u^3  \\
-\tau u+(3−2\tau)u^2 +(\tau −2)u^3  \\\\
+\tau u+(3−2\tau)u^2 +(\tau −2)u^3  \\
 −\tau u^2 +\tau u^3
 \end{bmatrix}
-\end{align*}
+\end{equation*}
+Dabei bezeichnet $\tau$ die "tension" (Glätt-Faktor) welche Werte im Intervall $[0,1]$ annimmt und $u$ den Zeitpunkt an dem die Funktionen ausgewertet werden. Zu welchen Zeitpunkten die Funktionen ausgewertet werden hängt von der Parametrisierung ab, zum Beispiel wird bei der uniform-Parametrisierung eine feste Anzahl von Punkten gewählt.
+Die interpolierte Koordinate ergibt sich nun aus dem Produkt der Matrix eurer Stützpunkte und dem Vektor eurer Basisfunktionen.
+\begin{equation*}
+\begin{bmatrix}
+x \\
+y
+\end{bmatrix}
+ =
+\begin{bmatrix}
+x_{p_0} & x_{p_1} & x_{p_2} & x_{p_3}  \\
+y_{p_0} & y_{p_1} & y_{p_2} & y_{p_3}
+\end{bmatrix}
+\cdot
+\begin{bmatrix}
+−\tau u+2\tau u^2 −\tau u^3  \\
++(\tau−3)u^2+(2−\tau)u^3  \\
+\tau u+(3−2\tau)u^2 +(\tau −2)u^3  \\
+−\tau u^2 +\tau u^3
+\end{bmatrix}
+\end{equation*}

Projektlabor Robotik MINTgrün

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