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--- techniken:catmullrom [2014/12/02 12:06]
c.jaedicke
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-Eine umfassende Herleitung des Algorithmus findet ihr [[http://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/graphics/asst5/catmullRom.pdf|hier]]. Dieses [[http://www.cemyuksel.com/research/catmullrom_param/catmullrom.pdf|Paper]] von Yuksel et. al. beschäftigt sich mit der Parametrisierung von Catmull-Rom-Kurven. Wie etwa die Centripetal-Parametrisierung, welche garantiert dass sich die Kurve innerhalb eines Abschnittes nicht selbst schneidet.
+Eine umfassende Herleitung des Algorithmus findet ihr [[http://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/graphics/asst5/catmullRom.pdf|hier]]. Dieses [[http://www.cemyuksel.com/research/catmullrom_param/catmullrom.pdf|Paper]] von Yuksel et. al. beschäftigt sich mit der Parametrisierung von Catmull-Rom-Kurven, wie etwa die Centripetal-Parametrisierung, welche garantiert dass sich die Kurve innerhalb eines Abschnittes nicht selbst schneidet.
-$
+===Algorithmus===
+Aus der oben genannten Herleitung erhalten wir die Basisfunktionen (In der numerischen analysis auch "blending functions" genannt) der Kurve:
+\begin{equation*}
+Mu =
+\begin{bmatrix}
+−\tau u+2\tau u^2 −\tau u^3  \\
++(\tau−3)u^2+(2−\tau)u^3  \\
+\tau u+(3−2\tau)u^2 +(\tau −2)u^3  \\
+−\tau u^2 +\tau u^3
+\end{bmatrix}
+\end{equation*}
+Dabei bezeichnet $\tau$ die "tension" (Glätt-Faktor) welche Werte im Intervall $[0,1]$ annimmt und $u$ den Zeitpunkt an dem die Funktionen ausgewertet werden. Zu welchen Zeitpunkten die Funktionen ausgewertet werden hängt von der Parametrisierung ab, zum Beispiel wird bei der uniform-Parametrisierung eine feste Anzahl von Punkten gewählt.
+Die interpolierte Koordinate ergibt sich nun aus dem Produkt der Matrix eurer Stützpunkte und dem Vektor eurer Basisfunktionen.
+\begin{equation*}
+\begin{bmatrix}
+x \\
+y
+\end{bmatrix}
+ =
+\begin{bmatrix}
+x_{p_0} & x_{p_1} & x_{p_2} & x_{p_3}  \\
+y_{p_0} & y_{p_1} & y_{p_2} & y_{p_3}
+\end{bmatrix}
+\cdot
 \begin{bmatrix}
-a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\\\
+−\tau u+2\tau u^2 −\tau u^3  \\
-b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\\\
++(\tau−3)u^2+(2−\tau)u^3  \\
-c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\\\
+\tau u+(3−2\tau)u^2 +(\tau −2)u^3  \\
-d_1 & d_2 & d_3 & d_4
+−\tau u^2 +\tau u^3
 \end{bmatrix}
-$
+\end{equation*}

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