10.02.2020

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Hier findest du die Folien zum Vortrag aus dem Wissenschaftsfenster, der am 10.02.2020 als Teil der Präsentationen der Labore aus MintGrün stattgefunden hat.

Wie bereits in der Projekt-Erläuterung zu lesen war, befassen wir uns innerhalb dieses Projektes mit der Generation von natürlichen Zellstrukturen, wie sie zum Beispiel im menschlichen Körper zu finden sind. Hierbei fokussieren wir uns auf eine besondere Zellform, das Scutoid, die in diesem Paper diskutiert wird.

Ein Scutoid entsteht laut Forschern vor allem in gekrümmten Epithelgewebe (Oberflächengewebe), kann dementsprechend also zum Beispiel in der Wölbung von Aderwänden auftreten. Vorher hatten Wissenschaftler angenommen, dass sich in diesen Regionen Frusten-Strukturen bilden (Frustum: Pyramidenstumpf) - jedoch fanden sie mithilfe von modernen 3D-Scans heraus, das an ihrer statt Scutoids entstehen, die maßgeblich zur Stabilität gekrümmter Strukturen beitragen.

(Abbildung aus dem Paper)

Um eine solche Zellstruktur zu generieren, haben wir uns zunächst mit der Generierung im zweidimensionalen Raum befasst. Hier haben wir einige Wochen damit verbracht, eine komplett eigene Art der Generierung zu ermitteln, bis wir schließlich von der Delaunay-Methode erfahren haben.

Methoden-Bild	Erläuterung
	A Wie im 4. Abschnitt zu sehen, müssen die Kerne der Zellen in einer bestimmten Art zu einer Triangulation zusammengeschlossen werden. Hierfür wird ein besonderes Auswahlkriterium verwendet, das (von uns im Rahmen dieses Projektes so genannte) Kreiskriterium. Hierfür werden drei Punkte aus der ursprünglichen Punktmenge extrahiert und durch einen eindeutig bestimmbaren Kreis (wir nennen diesen Umkreis) verbunden. Das Kreiskriterium besagt, dass diese drei Punkte genau dann ein Dreieck der Delaunay-Triangulation bilden, falls innerhalb dieses Kreises kein weiterer Kern der Punktmenge enthalten ist.
	B Wenn wir nun eine zufällige Punktmenge generieren, über alle möglichen Dreieckskombinationen der Menge iterieren und auf jeden dieser Fälle das Dreieckskriterium anwenden, so erhalten wir zum Schluss eine eindeutig bestimmte Triangulation, die im Rahmen dieser Methode die entsprechende Delaunay-Triangulation der Punktmenge heißt (in dieser Darstellung wurden nicht alle Dreiecksmöglichkeiten durch Kreise markiert, da das per Hand recht umständlich gewesen wäre - you get the point).
	Der letzte Schritt führt direkt von der Triangulation zur Zellstruktur, in dieser Methode auch Voronoi-Diagramm genannt. Hierfür brauchen wir die Umkreise der Dreiecke aus dem Dreieckskriterium. Wir checken ab, welche Dreiecke Nachbarn voneinander sind - falls dies der Fall ist - verbinden wir die Mittelpunkte der Umkreise beider Dreiecke. Tun wir dies für alle errechneten Dreiecke, so erhalten wir endlich die erhoffte Zellstruktur.

Die beschriebene Methode wurde im späteren Verlauf des 2D-Teil unseres Projektes genau so verwendet und ließ sich dann unter Einsatz aller Mittel schließlich auch mithilfe von Blender in 3D überführen.

Die Schritte des 2D-Voronoi-Diagrammes lassen sich mehr oder weniger in 3D reproduzieren, indem man jedem Schritt die dritte Dimension hinzufügt. Im Folgenden werden die einzelnen Schritte wie zuvor in 2D erläutert.

Methoden-Bild	Erläuterung
	A Wie im zweidimensionalen Fall wird auch hier zuerst eine Kernmenge (Punktmenge) generiert. Um aus dieser eine Delaunay-Tetraedisierung zu entwickeln, müssen wir das Kreiskriterium an den dreidimensionalen Fall anpassen. Hierzu brauchen wir für das Kugelkriterium (3D-Kreiskriterium) immer 4 Punkte, die zu untersuchen sind.
	B Um zu ermitteln, welche Sphere nötig ist, um alle vier Punkte miteinander zu verbinden, schließen wir zunächst zwei Drei-Punkte-Paare zu Dreiecken zusammen und ermitteln ihre Schwerpunkte (Mittelpunkt der Umkreise der drei Punkte) unter Beachtung der dreidimensionalen Lage der jeweiligen Ebenen, in welcher die beiden entstehenden Dreiecke liegen. An diesen Schwerpunkt setzten wir die Flächennormale der zugehörigen Dreiecksfläche an (eine Gerade, die genau senkrecht auf eine Fläche steht).
	C Haben wir die beiden Flächennormalen ermittelt und diese zu Geraden umgewandelt, so können wir nach einem Schnittpunkt suchen (es wird bei dieser Methode immer einen Schnittpunkt geben). Dieser Schnittpunkt repräsentiert nun den Schwerpunkt des Tetraeders, welches potentiell durch die vier zu untersuchenden Punkte aufgespannt wird. Berechnen wir nun den Abstand von Schwerpunkt zu einem der vier Punkte, so erhalten wir den Radius der Umkugel des Tetraeders und können mit dem Kugelkriterium fortfahren.
	Nun testenn wir, ob innerhalb der Umkugel ein weiterer Kern der Punktmenge liegt. Ist dies nicht der Fall, wurde das Kugelkriterium für die Delaunay-Tetraedisierung erfüllt und es wird das aus den vier untersuchten Punkten resultierende Tetraeder einer Delaunay-Liste hinzugefügt.
	Iterieren wir nun über alle Möglichkeiten der Vier-Kern-Kombinationen aus der generierten Punktmenge und wenden unser Kugelkriterium an, so erhalten wir zum Schluss eine eindeutige Delaunay-Tetraedisierung. Nun schauen wir nach, welche Tetraeder-Mengen eine gemeinsame Kante haben und verbinden die Schwerpunkte dieser Tetraeder zu Flächen. Ordnen wir diese Schlussendlich den zugehörigen Kernen zu und bilden zu jedem Kern ein Objekt aus den zugeordneten Flächen, so erhalten wir eine Mischung aus watertighten Zellen und halbgebildeten Randzellen.

Die Randzellen werden deshalb nicht komplett generiert, da außerhalb der Punktmenge keine weiteren Kerne generiert werden und deshalb am Rand die nötigen Informationen zu weiteren Tetraedern fehlen.