Das Ziel unseres Projektes war es, eine Rakete von der Erde starten zu lassen, wobei die Rakete durch die Anziehungskräfte der Planeten beeinflusst werden soll.

Folgende Personen haben an dem Projekt mitgearbeitet:

Niklas Deffland
Aike Teichmann
Leo Gummersbach
Sebastian Sontag

Projektplanung:

Das Ziel der Raketensimulation:
Man hat die Erde, legt die Startposition einer Rakete sowie Werte für Beschleunigung, Masse, usw. fest und Simuliert dann graphisch die Flugbahn der Rakete und wie diese von anderen Himmelskörpern beeinflusst wird. Das ganze wird erst mal auf einfachster Basis zweidimensional oder auch dreidimensional umgesetzt, später kann man noch verschiedene Planeten hinzufügen. Als Beispielmission wäre eine Rakete möglich, die von der Erde losfliegt und dann am Mars in einen stabilen Orbit kommt. Über die Art der graphischen Umsetzung müsste noch entschieden werden (z.B. Turtle oder andere Programme die besser geeignet wären) Relativität wird erst mal nicht mit einfließen, das wäre zu schwer.

Zwischenziele:

• Erde die fest im Raum steht
• Mond der die Erde umkreist, aber simuliert
• Erde die die Sonne umkreist (simuliert)
• Erde, welche die Sonne umkreist und gleichzeitig vom Mond umkreist wird
• Die Planeten umkreisen die Sonne (fertiges Sonnensystem)
• Eine Rakete fliegt mit den Naturgesetzen in dem fertigen Sonnensystem (mit Start auf der Erde)
• Die Planeten befinden sich bei Simulationsstart auf den Originalpositionen

Literatur und Hilfsmittel:

• Die vom Projetleiter vorgegebenen Seiten zum Erlernen der Sprache Python
  
• Für die Physik:
  
  • Schultafelwerk
    
• Für Euler und Laepfrog:
  
  • Gilbert Strang, Wissenschaftliches Rechnen, 2010, Seite 544ff.
    
  • https://de.wikipedia.org/wiki/Leapfrog-Verfahren
    
  • https://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren
    
  • https://de.wikibooks.org/wiki/Das_Mehrk%C3%B6rperproblem_in_der_Astronomie/_Allgemeine_L%C3%B6sungsmethoden/_Zwischenschritt-Verfahren:_Leapfrog_und_Runge-Kutta
    
• Für die Vektoren:
  
  • https://www.python-kurs.eu/python_numpy_maskierung.php
    
  • https://www.python-kurs.eu/matrix_arithmetik.php
    
  • https://www.geogebra.org zum Ausprobieren
    
• Für die Rakete:
  
  • https://www.bernd-leitenberger.de/raketengrundgleichung.shtml
    
  • https://th.physik.uni-frankfurt.de/~luedde/Lecture/Mechanik/Intranet/Skript/Kap4/node8.html
    

Voraussichtliche Bestandteile unseres Projektes:

Unser Projekt soll aus einem Programm bestehen, welches sich aus verschiedenen Bereichen zusammensetzen wird:

1. Die Berechnung der Orte (dabei ist die Klasse Himmelskoerper behilflich)
   
2. Das Hinzufügen von Objekten, zum Beispiel Planeten (dabei ist die Klasse Welt behilflich)
   
3. Der Ablauf der einzelnen Berechnungen, meist in Schleifen
   
4. Die grafische Darstellung
   

Die Orte werden mithilfe des Leapfrogverfahrens unter Berücksichtigung der Gravitation und eventuellen Schubkräften berechnet. Die Grafische Darstellung erfolgt mit Matplotlib.

Protokolle

In unserem Projekt haben wir uns mit der Idee beschäftigt, eine Rakete in unserem Sonnensystem fliegen zu lassen. Wir wollten anfänglich eine Rakete gezielt von einem Planeten, nämlich der Erde, zu einem beliebigen anderen Planeten in unserem System schicken. Dazu mussten wir uns zuerst einmal mit den Planeten in unserem Sonnensystem auseinander setzen, welche Kräfte auf diese einwirken und wie sie um die Sonne kreisen. Um das in ein Programm zu bekommen mussten wir uns auch überlegen, wie welche physikalischen Eigenschaften auf unser System wirken und vor allem wie wir diese ausrechnen lassen können. Das Problem der Berechnung war uns anfänglich gar nicht so bewusst.

Verlauf
In den ersten Wochen haben wir uns mit Python vertraut gemacht. Dann ist die Entscheidung für eine Raketensimulation gefallen. Wir haben damit angefangen, dass wir die Physik nach bestem Wissen und Gewissen einprogrammiert haben. Danach konnten wir schon den Mond um die Erde kreisen lassen. Dies war aber noch zu ungenau, weshalb wir das bisher verwendet Euler-Verfahren gegen das bessere Leapfrog-Verfahren ersetzt haben. Nun haben wir die Erde gegen die Sonne und den Mond gegen die Erde getauscht, sodass man sich im Sonnensystem wiederfand. Danach haben wir die drei anderen inneren Planeten eingefügt. Als letztes haben wir eine Rakete im Erde-Mondsystem starten lassen.

Die physikalischen Eigenschaften
Zuerst haben wir uns überlegt welche Kräfte in unserem Sonnensystem wirken. Wir haben beschlossen die Relativität nicht zu berücksichtigen. Außerdem haben wir festgestellt dass wir die wirkende Gravitation zwischen den Objekten in Vektorform benötigen, woraufhin wir dies so eingefügt haben. Die Berechnung sieht folgendermaßen aus:

1. Es wird zu jedem anderen Objekt in der Welt die Gravitationskraft berechnet
2. Daraus wird dann eine resultierende Kraft berechnet, indem alle Gravitationskräfte in Vektorform addiert werden
3. Mit bestehenden Werten (Masse, Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) wird der nächste Ort berechnet, wobei natürlich auch die Geschwindigkeit und die Beschleunigung aktualisiert werden. Die Berechnung funktioniert folgendermaßen:
   • Beschleunigung:
     Da Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, folgt aus F = a*m die Gleichung a = F/m. Im Code wird r anstatt F geschrieben, da es sich dort um die resultierende Kraft handelt. Desweiteren wird self.m anstatt m geschrieben, weil die Masse des Objekts in der Klasse gespeichert ist.
   • Geschwindigkeit:
     Es gilt v = a*t. Anstelle von t wird im Code zeitschritt geschrieben. Es wird self.v + v, also die alte und neu berechnete Geschwindigkeit addiert, ausgegeben.
   • Ort:
     Laut dem ersten Newtonschen Gesetz bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers unverändert bis eine Kraft auf ihn einwirkt. Deshalb ist es wichtig dass die Geschwindigkeit als fester Wert in der Klasse gespeichert wird. Dies geschiet mit self.v = v. Mit der Formel s = v*t wird die in der Zeit t zurückgelegte Strecke berechnet. Es wird wieder zeitschritt im Code anstatt von t geschrieben. Wieder muss der alte Ort addiert mit dem neu berechneten Ort ausgegeben werden.
4. Am Ende wird das „Leapfrog-Verfahren“ angewendet, wodurch der nächste Ort deutlich genauer ist. Bei diesem Verfahren wird zunächst eine Zwischenprognose nach einem halben Zeitschritt berechnet. Ausgehend von dieser wird dann eine Geschwindigkeit berechnet, bei der allerdings die alte Geschwindigkeit und die Beschleunigung der Zwischenprognose einfließen. Mit dieser neuen Geschwindigkeit wird dann der Ort nach einem weiteren halben Zeitschritt berechnet. Somit kommt man auf einen ganzen Zeitschritt, das Ergebnis ist jedoch wesentlich genauer.

	def berechne_gravitationskraft(self,objekt1):
		"""
		Gibt die Gravitationskraft aus, die zwischen den Objekten "objekt1" und "objekt2" herrscht
		Das Ergebnis wird als Vektor ausgegeben, immer in Richtung von objekt1 bis objekt2
		"""
		verbindungsvektor = self.ort-objekt1.ort
		betrag = np.linalg.norm(verbindungsvektor)
		F_betrag = (welt.gravitationskonstante * objekt1.m * self.m)/betrag**2
		F = (F_betrag/betrag)*verbindungsvektor
		return F
 
	def berechne_kraefte_neu(self,welt):
		"""
		Aktualisiert die Werte in der Liste der Kraefte, indem alle Werte neu berechnet werden
		"""
		self.Liste_der_Kraefte = []
		for i in welt.Liste_der_Objekte:
			if i.name != self.name:
				k = i.berechne_gravitationskraft(self)
				self.Liste_der_Kraefte.append(k)
 
	def berechne_resultierende_Kraft(self,welt):
		"""
		Aus der Liste der Kraefte wird eine resultierende Kraft in Form eines Vektors berechnet
		"""
		self.berechne_kraefte_neu(welt)
		r = np.array([0.0,0.0,0.0])			#resultierende Kraft
		for i in self.Liste_der_Kraefte:
			r = r + i
		return r
 
	def berechne_beschleunigung(self,welt):
		"""
		Aus der resultierende Kraft wird mit der Masse die Beschleunigung berechnet
		"""
		r = self.berechne_resultierende_Kraft(welt)
		a = r/self.m
		return a
 
	def berechne_geschwindigkeitsvektor(self,zeitschritt,welt):
		"""
		Aus der Beschleunigung wird mit dem uebergebenen Zeitschritt der Geschwindigkeitsvektor berechnet
		"""
		a = self.berechne_beschleunigung(welt)
		v = a*zeitschritt
		return self.v + v					#alte und neue Geschwindigkeit addiert
 
	def berechne_ort(self,zeitschritt,welt):
		"""
		Nun wird wieder mithilfe des Zeitschrittes aus der Geschwindigkeit die zurueckgelegte Strecke berechnet und daraus folgt dann der neue Ort
		"""
		v = self.berechne_geschwindigkeitsvektor(zeitschritt,welt)
		self.v = v
		s = v*zeitschritt								#zurueckgelegte Strecke im Zeitintervall
		ort = self.ort + s
		return ort
 
	def leapfrog(self,zeitschritt,welt):
		"""
		Die Methode berechne_ort ist eigentlich schon ausreichend, allerdings gibt es Probleme mit der Genauigkeit.
		Hier wird das geloest, indem das Leapfrog Verfahren angewendet wird.
		"""
		ort_zwischen = self.ort + self.v * (zeitschritt/2.0)
		self.ort = ort_zwischen
		a_zwischen = self.berechne_beschleunigung(welt)
		self.v = self.v + a_zwischen * zeitschritt
		self.ort = ort_zwischen + self.v * (zeitschritt/2.0)
		return self.ort

Die Objekte
Als nächstes haben wir uns überlegt wie wir unsere Planeten in das System bekommen. Über die Klasse Welt und deren Methoden konnten wir zuerst nur Objekte ohne „Wirkung“ hinzufügen.

class Welt(object):
 
	gravitationskonstante = 6.673 * 10**(-11)			#Gravitationskonstante
	Liste_der_Objekte = []
 
 
 
 
	def objekt_hinzufuegen(self,objekt,ort):
		"""
		Fuegt der Welt ein Objekt hinzu
		"""
		self.Liste_der_Objekte.append(objekt)
		objekt.ort = ort
 
	def objekt_als_satellit_hinzufuegen(self,objekt,satellit,abstand):
		"""
		Fuegt ein Objekt ("satellit" genannt) in die Welt ein, welches sich
		um ein anderes Objekt ("objekt" genannt) dreht. Es ist dabei in einem stabilen Orbit.
		Der Abstand ("abstand" genannt) ist dabei der Abstand zwischen den Mittelpunkten.
		Ansatz: F_g = F_r
		Nach aufloesung erhaelt man: v = sqrt(gravitationskonstante*masse_objekt/abstand)
		"""
		satellit.v = np.array([0.0,(self.gravitationskonstante*objekt.m/abstand)**0.5,0.0])
		ort = objekt.ort + np.array([abstand,0,0])
		self.objekt_hinzufuegen(satellit,ort)

Durch eine for-Schleife haben wir die Gravitation zwischen den Objekten immer wieder neu berechnen lassen, wodurch sie sich kreisend um die Sonne bewegen.

for i in xrange(100):
	merkur.ort = merkur.leapfrog(Zeit,welt)
	venus.ort = venus.leapfrog(Zeit,welt)
	erde.ort = erde.leapfrog(Zeit,welt)
	mars.ort = mars.leapfrog(Zeit,welt)
	ort0 = ax.plot3D(np.array([merkur.ort[0]]),np.array([merkur.ort[1]]),np.array([merkur.ort[2]]),'b.')
	merkurbahn.append(ort0)
	ort0 = ax.plot3D(np.array([venus.ort[0]]),np.array([venus.ort[1]]),np.array([venus.ort[2]]),'r.')
	venusbahn.append(ort0)
	ort0 = ax.plot3D(np.array([erde.ort[0]]),np.array([erde.ort[1]]),np.array([erde.ort[2]]),'b.')
	erdbahn.append(ort0)
	ort0 = ax.plot3D(np.array([mars.ort[0]]),np.array([mars.ort[1]]),np.array([mars.ort[2]]),'r.')
	marsbahn.append(ort0)

Fazit
Abschließend ist festzustellen, dass so ein Projekt egal wie leicht es anfänglich wirkt und wie gut man glaubt mit dem Thema umgehen zu können doch sehr komplex und zeitaufwendig werden kann, und in unserem Fall auch geworden ist. Nichts desto trotz hat die Arbeit Spaß gemacht, vor allem dann wenn ein Problem behoben werden konnte oder ein großer Schritt in dem Projekt geschafft wurde. Zu unserm Projekt im Speziellen bleibt zu sagen, dass wir eine Menge im Bereich der Kreisbahnberechnung gelernt haben und dass wir sehr zufrieden mit dem Ergebnis sind, auch wenn wir nicht fertig wurden.

Das Ergebnis sind zwei ähnliche, wenn auch verschiedene Programme. Zum einen gibt es die eigentliche Raketensimulation, in der es aber nur die Rakete und die Erde als Objekte gibt. Zum anderen gibt es noch eine Simulation des inneren Sonnensystems. In der Zukunft könnte man versuchen, diese beiden Teile zu einem zu verbinden. Ob dies sinnvoll ist bleibt allerdings offen, da sich die Bewegung einer Rakete und die von Planeten in ganz anderen Zeitdimensionen abspielen.

• Modulliste
• erde_und_rakete.zip
• inneres_sonnensystem.zip