Projektlabor Robotik MINTgrün

Der elektrischer Widerstand eines Gegenstandes beschreibt, wieviel Spannung nötig ist, um einen bestimmten Strom durch ihn hindurch fließen zu lassen. http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrischer_Widerstand. Elektrischer Widerstand wird in Ohm ($\Omega$) gemessen.

Je größer der Widerstand eines Gegenstands ist, desto „schlechter“ leitet er und desto weniger Strom fließt bei gleicher anliegender Spannung durch ihn hindurch. In der Wasseranalogie des Elektrischen Stroms entspricht der Widerstand der Durchlässigkeit eines Rohrs: Ein dickes Kupferkabel wäre z.B. eine Pipeline, ein $100k\Omega$ Widerstand dagegen eine feine Kanüle.

Weil der elektrische Widerstand vieler Materialen von äußeren Einflüssen (z.B. Temperatur, mechanische Belastung, Licht) abhängt, lassen sich viele Umgebungsbedingungen sehr einfach über eine Widerstandsmessung bestimmen.

Wenn der Widerstand eines Leiters nicht von Strom, Spannung oder Frequenz abhängt, spricht man von einem Ohmschen Widerstand. In diesem Fall ist der Strom $I$, der durch ein Stück Leiter fließt, genau proportional zur zwischen dessen Enden anliegenden Spannung $U$ und umgekehrt proportional zum Widerstand des Leiters $R$: \begin{equation} I = \frac{U}{R} \end{equation}

Diese Formel (und ihre umgestellten Varianten) wird so oft gebraucht, dass man sich ihre intuitive Bedeutung mit ein Paar Gedankenexperimenten verdeutlichen sollte.

• Was passiert, wenn an den gleichen Widerstand eine doppelt so große Spannung angelegt wird?
• Was passiert, wenn bei gleicher Spannung der Widerstand halbiert wird?

Beispielrechnungen

Weil Leiterstücke mit festen, bekannten Widerstandswerten so häufig gebraucht werden, gibt es sie in allen möglichen Formen und Werten fertig zu kaufen. Wir haben im Kurs zwei Sortimente mit Widerständen zwischen $100\Omega$ und $1M\Omega$.

Microcontroller wie der Arduino können an ihren Eingängen meistens nur Spannungen ($U$) messen. Wenn man wissen möchte, wie groß ein fließender Strom $I$ ist, lässt man ihn einfach durch einen (kleinen) Widerstand fließen und misst die an ihm abfallende Spannung: \begin{equation} U = IR \end{equation}

Wenn wir einen Widerstand verwenden wollen, um den bei einer bestimmten Spannung fließenden Strom zu begrenzen (z.B. damit eine LED nicht durchbrennt), können wir die Formel auf $R$ umstellen, um den benötigten Widerstandswert auszurechnen. Je mehr Spannung $U$ benötigt wird, um einen bestimmten Strom $I$ fließen zu lassen, desto größer ist der Widerstand $R$: \begin{equation} R = \frac{U}{I} \end{equation}

Parallelschaltungen werden genutz, um die Leitung elektrischer Geräte zu steigern. Es werden mehrer Zweige in einem gemeinsamen Knoten miteinander Verbunden. Dabei ist die Spannung in allen Zweigen gleich und der Strom der über die Zweige fließt wir zum Gesamtstrom aufaddiert. Für die einzelnen Widerstände in den Zweigen gilt immer noch $ R = \frac{U}{I}$. Es gilt also auch $ I_k = \frac{U}{R_k}$ mit $k \in {1...n}$ für alle Ströme in den n parallel geschalteten Widerständen.
Der Gesamtstrom kann also mit $ I = (\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...+\frac{1}{R_n})U=\frac{1}{R_G}U$ berechnet werden. Dadurch dass $R$ und $I$ antiproportional zueinander sind, kommen wir zu folgender Rechnung.
Bei der Parallelschaltung wird der Gesamtwiderstand aus n Widerständen also wie folgt berechnet: \begin{equation} \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+...+\frac{1}{R_n} \end{equation} Wenn man nur zwei Widerstände hat, dann kann man den Gesamtwiderstand auch wie folgt berechnen: \begin{equation} R_G = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \end{equation}

Die Reihenschaltung wird oft dazu verwendet hohe Spannungen in niedrigere Teilspannungen aufzuteilen. Bei der Reihenschaltung werden die Widerstände in einem Zweig hintereinander geschaltet. Der Ström der durch die Widerstände fließt ist gleich, doch die Gesamtspannung ergibt sich durch das Aufaddieren der Spannungen die an den Widerständen abfällt. Auch hier gilt an den Widerständen $ R = \frac{U}{I}$. Es gilt also auch $ U_k = R_k \cdot I$ mit $k \in {1...n}$ für alle Spannungen in den n in Reihe geschalteten Widerständen.
Die Gesamtspannung kann also mit $ U = (R_1+R_2+...+R_n)I=R_G \cdot I$ berechnet werden.
Die Formel zur Berechnung des Gesamtwiederstandes mit n Widerständer sieht also wie folgt aus: \begin{equation} R_G = R_1 + R_2 +...+ R_n \end{equation}

Der einfache Spannungteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen. Wie bei der Reihenschaltung schon gesagt, wird diese dazu verwendet höhere Spannungen in niedrigere aufzuteilen. An den einzelnen Widerständen liegt also eine kleiner Spannung an als die Gesamtspannung. Nun kann die abfallende Spannung an den einzelnen Widerständen gemessen werden. Im folgenden Bild ist die Schaltskizze eines Spannungsteilers zu sehen. Die Spannung die über $R_2$ abfällt, wird wie folgt berechnet: \begin{equation} U_2 = \frac{R_2}{R_1+R_2}U_{Ges} \end{equation} Der Spannungsteiler ist also nützlich, um eine Spannung zu erzeugen, die kleiner ist, als man zur Verfügung hat. Durch dasVerhältins der beiden Widerstände ist die Spannung genau einstellbar, was oft gebraucht wird.

Bild Spannungsteiler ändern

Ein Potentiometer ist ein einstellbarer Widerstand mit mindestens zwei Anschlüssen. Die Einstellung erfolgt dabei mechanisch, durch drehen oder schieben. Das Schaltsymbol ist in nächsten Abbildung zu sehen. Dies ist ein Potetiometer, das durch Schieben eingestellt wird, es wird auch Fader genannt. Durch das Verschieben wird der Widerstand des Potentiometers (Abb. oben) in zwei Teile geteilt und somit entstehen verschiedene Potentiale. Dieses Bauteil kann also als einem regelbaren Spannungsteiler (Abb. unten) verwendet werden und findet auch dort die großte Anwendung. Der Weg, der durch das Verschieben vom Regler zurückgelegt wird, ist proportional zum eingestellten Widerstand. Der eingestellte Widerstand ist wiederum proportional zur Spannung, die über ihn abfällt. Da der Gesamtwiederstand bekannt ist und der Regler den Widerstand in zwei Teile teilt, kann nun die abfallende Spannung an einem der beiden Widerstände gemessen werden, die somit auch proportional zum zurückgelegten Weg ist.
Eine anschauliche Erklärung findet ihr auch hier: Potentiometer
Anwendung: Lautstärkeregler oder zurücklegen von Wegen

Eine weiterer einstellbarer Widerstand stellt der Biegewiderstand dar. Hier ist der Widerstand des Widerstandsstreifens von dem Biegewinkel abhängig, sie werden auch Lineare Softpotentiometer (Abb. unten) genannt. Um damit einen Spannungsteiler zu realisieren wird ein zusätzlicher Widerstand benötigt, der als vergleich dient.

Im Labor haben wir auch digital einstellbare Widerstände. Hier ein Link zum Datasheet.