Mathesis Wiki

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===Mathematisches Modell===

Im mathematischen Modell hat die Kugel an jedem Pin eine 50:50 Chance links oder rechts an dem Pin vorbei zu gehen. Mit der Bernoilli-Verteilung lässt sich wie folgt die komulierte Wahrscheinlichkeit berechenn in welchem Fach die Kugel landet. 

Allgemein gilt für das Fach $k$:

$B(k) = { n \choose k } \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = { n \choose k } \cdot \frac{1}{2^n}.$

Dabei ist $k$ das Fach und $n$ die Anzahl der Pin-Reihen. Wobei es immer $n+1$ mögliche Fächer gibt und das $(n/2 +1$)-Fach das mittlere Fach mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist. 

Im allgemeinen gilt das für $\lim_{n\to\infty} B(k)=G(k)$ die Bernouilli-Verteilung gegen die Gauß-Verteilung konvergiert. Somit können mit dem Galton-Fallbrett als mathematisches Modell auch Gauß-Verteilte Zufallsexperimente simuliert werden.

===Physikalisches Modell===

Im physikalischen Modell gilt es verschiedene physikalische Aspekte der Kugeln mit dem Brett beziehungweise mit anderen Kugeln zu simmulieren, um sop die Realität möglichst nah abzubilden.

==Zentraler Stoß==
Zunächst wurde der Zentrale Stoß simuliert, da hier die Interaktion am leichtesten zu realisieren ist.
Beim zentralen elastischen Stoß zweier Körper, gleicher Masse, kann die resultierende Geschwindigkeit wie folgt berechnet werden:

$\vec{v'_{1}}=\vec{v_{2}}$

$\vec{v'_{2}}=\vec{v_{1}}$

Der Sonderfall ist hier der Pin, da dieser als unbewegliches Objekt und ohne Geschwindigkeit angesehen wird, vereinfacht sich die Gleichung hier zu:

$\vec{v}\rightarrow-\vec{v}$

In der Simulation wird anschließend noch ein Dämpfungsfaktor auf den resultierenden Vektor multipliziert um das Ergebinis realistischer erscheinen zu lassen, da vollständige Energieerhaltung in der Realität nicht gegeben ist.

==Dezentraler Soß==

Der dezentrale Stoß ist nun etwas komplzierter, da nun die Außdehnung der Kugeln sowie relative Position berücksichtigt werden muss:

$\vec{v'_{1}}= \frac{ (\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}} )\cdot \vec{a} }{|\vec{a}|} + \vec{v_{1}}$

dabei ist $\vec{a}$ der Abstand der beiden Kugeln. Die Formel sorgt für eine Projektion des Impulses auf die Verbindungsachse $a$ und dann eine Drehung, sowie Streckung oder Stauchung, des Impulsvektors $\vec{v_{1}}$. Auch wird anschließend noch ein Dämpfungsfaktor multipliziert.
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