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===== Technische Details ===== 
Genauere Erklärung einiger Funktionen

==== Aus Quantilen eine Verteilung bestimmten ====

**Problem:** Für eine gewisse Anzahl an Agenten relative Werte festlegen, wobei vorher definierte Quantiele mit relativen nicht-kumulierten Werten erfüllt sein müssen.

Dafür gibt es mehrere Lösungen. Wir haben uns entschieden wie bei linearer Regression vorzugehen, nur mit dem Ziel, das die Integrale im Bereich der Quantile $Q$ gleich dem Wert der Quantile sind und nicht möglichst viele Punkte getroffen werden sollen. Als Ergebnis erhält man eine Dichtefunktion, die angibt, wie viele Einkommen an eine Stelle liegt. Die Dichtefunktion $f$ ist dann wie folgt definiert:

$$f(x) =  \beta_1 \cdot x^g + \beta_0 $$

und hat folgende Parameter $\beta_1$ und $\beta_0$, die Verändert werden können. Der Grad der Funktion $g$ muss vorher gegeben sein. Für diese Parameter soll nun ein Wert gefunden werden, der ermöglicht, das die Integralle im Bereich der Quantile $Q$ der Funktion $d$ dem Wert der Quantile entspricht.

Also das:
$$ Quantilwert \approx \int_{x_{von}}^{x_{bis}} f(x) \, dx $$

Dazu muss eine Loss-Funktion definiert werden, die für jede Eingabe an Parametern ausgibt, wie Groß der Abstand zwischen dem Wert des Integrals und dem gewühntschtem Wert im Qunatil $Q$ ist. 
Die Lossfunktion $l$ lässt sich definieren als:

$$ l(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} \left( d[i] - \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} \beta_0 + \beta_1 \cdot x^g \,dx \right)^2$$

wobei:
  * $beta_0$: Y-Achsenabschnitt
  * $beta_1$: Regressionskoeffizienz / Steigung der Parabell
  * $d$: Liste mit allen Quartielwerten
  * $n$: Anzahl an Quartilen $|d|$
  * $g$: Grad der Zielfunktion

Alle Parameter, bis auf $\beta_0$ und $\beta_1$, müssen vorher gegeben sein!

Da es sich um eine Polynomenfunktion handelt, kann das Integral symbolisch gelöst weren (Quelle ChatGPT). Dadurch gilt folgendes:
\begin{align*}
\int_{a}^{b} \beta_1 \cdot x^g + \beta_0 \, dx &= \beta^1 \cdot \int_{a}^{b} x^g \, dx \cdot \int_{a}^{b} 1 \, dx = \beta_1 \cdot \left[ \frac{x^{g+1}}{g+1} \right]^b_a + \beta_0 \cdot (b-a) \\
&= \beta_1 \cdot \left( \frac{b^{g+1} - a^{g+1}}{g+1} \right) + \beta_0 \cdot (b-a)
\end{align*}

Dadurch kann die Loss-Funktion wie folgt geschrieben werden:
$$ l(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} \left(d[i] - \left[ \beta_1 \cdot \left( \frac{ \left(\frac{i}{n}\right)^{g+1} - \left(\frac{i-1}{n}\right)^{g+1}}{g+1} \right) + \beta_0 \cdot \frac{1}{n} \right] \right)^2 $$

Nun kann mit der Funktion ''minimize'' aus ''scipy.optimize'' das Problem, die besten Werte für $\beta_0$ und $\beta_1$ zu finden, gelöst werden. Wie genau weiß ich auch nicht.

<code python>
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    from scipy.optimize import minimize

    # Quantile - Hier Dezile als Beispiel
    quantile = np.array([3,5,6,7,8,9,10,12,15,25])/100
    # Grad der Funktion
    g = 2

    # Weitere Variablen, die berechnet werden
    n = len(quantile)
    b_0 = 0
    b_1 = 0

    def l(xy):
        b_0, b_1 = xy
        error = 0

        for i, element in enumerate(quantile):
            integral = (b_1 * (((((i+1) / n)**(g+1)) - (((i)/n)**(g+1)))/(g+1)) + b_0 * (1/n))
            error += (element - integral)**2
        return error 

    def f(x):
        return b_1 * (x**g) + b_0

    res = minimize(l, (1,1), method='L-BFGS-B')     # (1,1) ist der Startwert
    b_0, b_1 = res.x

    print(f'Die Funktion lautet: f(x) = {b_1} * x^{g} + {b_0}')
    print(f'Der Fehlerwert ist : {l(res.x)}')

    #  Darstellung der Werte
    x = np.linspace(0, 1, 10)
    x_quantile = np.linspace(0.05, 0.95, len(quantile))
    plt.figure()
    plt.bar(x_quantile, quantile, width=0.1, alpha=0.6, label='Dezile', color='orange', edgecolor='black')
    plt.plot(x, f(x), label='f(x)')
    plt.title(rf"$f(x) = {b_1}\, \cdot x^{g} + {b_0}$")
    plt.legend()
    plt.show()
</code>
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