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ws1819:sternensystem
Unterschiede
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ws1819:sternensystem [2019/03/22 19:13] lennox99 |
ws1819:sternensystem [2019/04/09 15:59] (aktuell) lennox99 Formel korrigiert |
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| + | Eine sehr schöne Ausarbeitung einer sehr schönen Arbeit, ich hätte nur Kleinigkeit zu bemerken: | ||
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| + | - In der Formel für die Beschleunigung verstehe ich $\hat{x}$ nicht, außerdem ist die Indizierung am Summenzeichen nicht ganz richtig. Ihr wollte über alle j mit $j\not = i$ summieren. | ||
| + | - Die Erklärung der höheren Genauigkeit des rk4-Verfahrens ist unklar. Was heißt 'viermal genauer'? Beim Euler-Verfahren erklärt ihr richtig, dass der Fehler bei einem Schritt quadratisch in der Schrittweite h (in der Zeit) ist. Bei rk4 ist der lokale Fehler durch $c h^5$ abzuschätzen. | ||
| + | - Vielleicht wäre es gut, bei der ersten Erwähnung (Euler-Verfahren) des Begriffs "Ordnung eines Verfahrens" zu erklären, dass ein Verfahren von n. Ordnung heißt, wenn es einen lokalen Fehler $\sim h^5$ hat. | ||
| + | - Eigentlich habe ich mir vorgestellt, dass die Planungselemente im Hauptteil zu finden sind. Da aber eure Protokolle ausführlich und gut lesbar sind, ist es auch so in Ordnung. | ||
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| {{https://i.ibb.co/q5fR6Mn/Planets.png}} | {{https://i.ibb.co/q5fR6Mn/Planets.png}} | ||
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| Das explizite Euler-Verfahren ist das einfachste Verfahren zur Lösung numerischer n-Körperprobleme mittels Differentialgleichungen erster Ordnung. | Das explizite Euler-Verfahren ist das einfachste Verfahren zur Lösung numerischer n-Körperprobleme mittels Differentialgleichungen erster Ordnung. | ||
| + | Die Ordnung eines Verfahrens gibt an, wie genau das Verfahren in jedem Schritt arbeitet und wie stark der Fehler der Lösung durch Verringerung der Schrittweite abnimmt. | ||
| Um die neuen Positionen der Objekte im Raum zu ermitteln, werden zu erst die Gravitationskräfte, die zwischen alle Objekten wirken für jedes Objekt im Raum berechnet. Durch die berechnete Gravitationskraft ist es nun möglich die Beschleunigung für jedes Objekt mithilfe des 2. newton'schen Gesetzes (F=m*a), zu berechnen | Um die neuen Positionen der Objekte im Raum zu ermitteln, werden zu erst die Gravitationskräfte, die zwischen alle Objekten wirken für jedes Objekt im Raum berechnet. Durch die berechnete Gravitationskraft ist es nun möglich die Beschleunigung für jedes Objekt mithilfe des 2. newton'schen Gesetzes (F=m*a), zu berechnen | ||
| Die Gleichung für die Berechnung der Beschleunigung von multiplen Körpern: | Die Gleichung für die Berechnung der Beschleunigung von multiplen Körpern: | ||
| - | $$ a_{ix} = \sum_{i \neq j}^{i} \frac{Gm_j}{((x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2)^\frac{3}{2}}(x_j - x_i)\hat{x} $$ | + | $$ a_{ix} = \sum_{j \neq i}^{i} \frac{Gm_j}{((x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2)^\frac{3}{2}}(x_j - x_i) $$ |
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| - | Es eignet sich daher sehr gut für gravitative Simulationen, da dort lediglich die Position der Objekte die Berechnung beeinflussen. Besonders die Eigenschaft der Reversibilität und der Symplektizität der Berechnung die Energie die in einem dynamischen System stabil bleibt, machen es zu einer konsistenten Methode zur Berechnung von Gravitationssystemen. | + | Es eignet sich daher sehr gut für gravitative Simulationen, da dort lediglich die Position der Objekte die Berechnung beeinflussen. Besonders die Eigenschaft der Reversibilität und der Symplektizität der Berechnung die Energie die in einem dynamischen System stabil bleibt, machen es zu einer konsistenten Methode zur Berechnung von Gravitationssystemen. Dies wird auch im Graphen des Leapfrog-Verfahrens deutlich. |
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| - | Durch dieses Verfahren wird eine viermal höhere Genauigkeit erreicht und dabei weniger Rechenleistung benötigt als z.B. mit dem Euler-Verfahren. | + | Mit diesem Verfahren wird ein lokaler Fehler von $$ \sim h^5 $$ und es wird dafür weniger Rechenleistung benötigt als z.B. mit dem Euler-Verfahren. |
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| - | In den folgenden Graphen wird die absolute Abweichung der Planetenposition, die von uns berechnet wurde, zu den Berechnungen der NASA deutlich, die Mittels Skyfield in unserer Programm importiert wurden. Die Berechnungen wurden in relativ großen Zeitschritten von einem Tag, also 86400 Sekunden, berechnet, was die Abweichung nochmal deutlich darstellt. Die Berechnung lief für 50 echte Sekunden, für jedes Berechnungsverfahren. | + | In den folgenden Graphen wird die absolute Entfernung der Planetenpositionen, die von uns berechnet wurden, zu den Positionen zum selben Zeitpunkt laut NASA deutlich, die mittels Skyfield in unserer Programm importiert wurden. Die Schrittlängen der Berechnungen wurden so gewählt, dass $ 10^9 $ Sekunden in der Simulation in ca. 50 Sekunden echter Zeit berechnet werden. So haben wir sozusagen die "Effizienz" der Verfahren berechnet. |
| - | Auf den ersten Blick wird sofort deutlich, dass das Euler-Verfahren kein stabiles Berechnungsverfahren darstellt. Die Abweichung der Planeten, vor allem des Merkurs, ist infinit und exponentiell. | + | Auf den ersten Blick wird sofort deutlich, dass das Euler-Verfahren kein stabiles Berechnungsverfahren darstellt. Die Abweichung der Planeten, vor allem des Merkurs, geht offensichtlich gegen unendlich. Trotzdem bleibt sie in dem Zeitraum der Berechnung unter 70 Milliarden Metern. In dem Zeitraum der Berechnung ist das Euler-Verfahren also noch gar nicht so schlecht, verglichen mit den anderen Verfahren. |
| - | Bei Leapfrog und RK4 ist zu erkennen, das die Abweichungen deutlich stabiler bleiben und sich auch wieder dem Referenzgraphen annähern. | + | Bei Leapfrog und RK4 ist zu erkennen, dass die Abweichungen zwar gegen 140 bzw. 120 Millionen Meter geht, dabei aber symplektisch verläuft. Auf lange Zeit sind diese Verfahren also stabiler. Die großen Schwankungen lassen sich damit erklären, dass sich mit der Zeit eine Phasenverschiebung zwischen der Laufbahn der simulierten Planeten und den Solldaten entwickelt. Zu dem Zeitpunkt, an dem die Abweichung am größten ist, befindet sich der simulierte Planet also am gegenüberliegenden Punkt seiner Umlaufbahn wie der echte Planet. Die kleinen Schwankungen, die zum Zeitpunkt der größten Abweichung auch ihre maximale Amplitude erreichen, entstehen dadurch, dass die Umlaufbahnen der Planeten elliptisch sind. Wenn sich der Ist- und der Soll-Planet also an gegenüberliegenden Punkten der elliptischen Umlaufbahn befinden, schwankt ihre Entfernung am meisten, da der Durchmesser der Ellipse nicht konstant ist. Beim RK4-Verfahren lässt sich außerdem noch beobachten, dass die Planeten (zumindest der Merkur) mit der Zeit Energie verlieren und in eine nähere Umlaufbahn fallen. Dies kann man daran erkennen, dass die Schwankungen, die durch die Phasenverschiebung entstehen, immer kleiner werden, und dass der minimale Abstand nicht mehr die Null erreicht. |
| - | Runge-Kutta ist dabei das stabilste und genauste Verfahren zur n-Körper Berechnung, dass wir in unserem Programm verwendet haben. | + | |
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| Lennox Lingk\\ | Lennox Lingk\\ | ||
| Matthias Schuster\\ | Matthias Schuster\\ | ||
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ws1819/sternensystem.1553278432.txt.gz · Zuletzt geändert: 2019/03/22 19:13 von lennox99
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