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ws1718:theorie
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ws1718:theorie [2018/04/14 15:55] m.hansemann |
ws1718:theorie [2018/04/14 19:31] (aktuell) m.hansemann |
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| - | ==Mathematisches Modell== | + | ===Mathematisches Modell=== |
| - | Im mathematischen Modell hat die Kugel an jedem Pin eine 50:50 Chnace links oder rechts an dem Pin vorbei zu gehen. Mit der Bernoilli-Verteilung lässt sich wie folgt die komulierte Wahrscheinlichkeit berechenn in welchem Fach die Kugel landet. | + | Im mathematischen Modell hat die Kugel an jedem Pin eine 50:50 Chance links oder rechts an dem Pin vorbei zu gehen. Mit der Bernoilli-Verteilung lässt sich wie folgt die komulierte Wahrscheinlichkeit berechenn in welchem Fach die Kugel landet. |
| Allgemein gilt für das Fach $k$: | Allgemein gilt für das Fach $k$: | ||
| - | :$B(k) = { n \choose k } \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = { n \choose k } \cdot \frac{1}{2^n}.$ | + | $B(k) = { n \choose k } \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = { n \choose k } \cdot \frac{1}{2^n}.$ |
| - | Dabei ist $k$ das Fach und $n$ die Anzahl der Pin-Reihen. Wobei es immer $n+1$ mögliche Fächer gibt und das $n/2 +1$-Fach das mittlere Fach mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist. Im allgemeinen gilt das für $\lim_{n\to\infty} n$ die Bernouilli-Verteilung gegen die Gauß-Verteilung konvergiert. | + | Dabei ist $k$ das Fach und $n$ die Anzahl der Pin-Reihen. Wobei es immer $n+1$ mögliche Fächer gibt und das $(n/2 +1$)-Fach das mittlere Fach mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist. |
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| + | Im allgemeinen gilt das für $\lim_{n\to\infty} B(k)=G(k)$ die Bernouilli-Verteilung gegen die Gauß-Verteilung konvergiert. Somit können mit dem Galton-Fallbrett als mathematisches Modell auch Gauß-Verteilte Zufallsexperimente simuliert werden. | ||
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| + | ===Physikalisches Modell=== | ||
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| + | Im physikalischen Modell gilt es verschiedene physikalische Aspekte der Kugeln mit dem Brett beziehungweise mit anderen Kugeln zu simmulieren, um sop die Realität möglichst nah abzubilden. | ||
| ==Zentraler Stoß== | ==Zentraler Stoß== | ||
| + | Zunächst wurde der Zentrale Stoß simuliert, da hier die Interaktion am leichtesten zu realisieren ist. | ||
| + | Beim zentralen elastischen Stoß zweier Körper, gleicher Masse, kann die resultierende Geschwindigkeit wie folgt berechnet werden: | ||
| + | $\vec{v'_{1}}=\vec{v_{2}}$ | ||
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| + | $\vec{v'_{2}}=\vec{v_{1}}$ | ||
| + | |||
| + | Der Sonderfall ist hier der Pin, da dieser als unbewegliches Objekt und ohne Geschwindigkeit angesehen wird, vereinfacht sich die Gleichung hier zu: | ||
| $\vec{v}\rightarrow-\vec{v}$ | $\vec{v}\rightarrow-\vec{v}$ | ||
| + | |||
| + | In der Simulation wird anschließend noch ein Dämpfungsfaktor auf den resultierenden Vektor multipliziert um das Ergebinis realistischer erscheinen zu lassen, da vollständige Energieerhaltung in der Realität nicht gegeben ist. | ||
| ==Dezentraler Soß== | ==Dezentraler Soß== | ||
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| + | Der dezentrale Stoß ist nun etwas komplzierter, da nun die Außdehnung der Kugeln sowie relative Position berücksichtigt werden muss: | ||
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| + | $\vec{v'_{1}}= \frac{ (\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}} )\cdot \vec{a} }{|\vec{a}|} + \vec{v_{1}}$ | ||
| + | |||
| + | dabei ist $\vec{a}$ der Abstand der beiden Kugeln. Die Formel sorgt für eine Projektion des Impulses auf die Verbindungsachse $a$ und dann eine Drehung, sowie Streckung oder Stauchung, des Impulsvektors $\vec{v_{1}}$. Auch wird anschließend noch ein Dämpfungsfaktor multipliziert. | ||
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| + | ===kD-Tree=== | ||
ws1718/theorie.1523714124.txt.gz · Zuletzt geändert: 2018/04/14 15:55 von m.hansemann
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