Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen gezeigt.

--- ss25:vermoegenssimulation:technische_details [2025/07/02 15:13]
matteo06
+++ ss25:vermoegenssimulation:technische_details [2025/07/02 17:18] (aktuell)
matteo06
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- ==== Aus Quantilen eine Verteilung bestimmten ====
+===== Technische Details =====
+Genauere Erklärung einiger Funktionen
+==== Aus Quantilen eine Verteilung bestimmten ====
 **Problem:** Für eine gewisse Anzahl an Agenten relative Werte festlegen, wobei vorher definierte Quantiele mit relativen nicht-kumulierten Werten erfüllt sein müssen.
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 $$f(x) =  \beta_1 \cdot x^g + \beta_0 $$
-und hat folgende Parameter $\beta_1$ und $\beta_0$, die Verändert werden können. Der Grad der Funktion $g$ muss vorher gegeben sein. Für diese Parameter soll nun ein Wert gefunden werden, der ermöglicht, das die Integralle im Bereich der Quantile $Q$ der Funktion $d$ dem Wert der Quantile entspricht. Ein Bild um das zu Verstehen: [Noch Einfügen!]
+und hat folgende Parameter $\beta_1$ und $\beta_0$, die Verändert werden können. Der Grad der Funktion $g$ muss vorher gegeben sein. Für diese Parameter soll nun ein Wert gefunden werden, der ermöglicht, das die Integralle im Bereich der Quantile $Q$ der Funktion $d$ dem Wert der Quantile entspricht.
 Also das:
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 wobei:
- - $beta_0$: Y-Achsenabschnitt
+  * $beta_0$: Y-Achsenabschnitt
- - $beta_1$: Regressionskoeffizienz / Steigung der Parabell
+  * $beta_1$: Regressionskoeffizienz / Steigung der Parabell
- - $d$: Liste mit allen Quartielwerten
+  * $d$: Liste mit allen Quartielwerten
- - $n$: Anzahl an Quartilen $|d|$
+  * $n$: Anzahl an Quartilen $|d|$
- - $g$: Grad der Zielfunktion
+  * $g$: Grad der Zielfunktion
 Alle Parameter, bis auf $\beta_0$ und $\beta_1$, müssen vorher gegeben sein!
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 $$ l(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} \left(d[i] - \left[ \beta_1 \cdot \left( \frac{ \left(\frac{i}{n}\right)^{g+1} - \left(\frac{i-1}{n}\right)^{g+1}}{g+1} \right) + \beta_0 \cdot \frac{1}{n} \right] \right)^2 $$
-Nun kann mit der Funktion `minimize` aus `scipy.optimize` das Problem, die besten Werte für $\beta_0$ und $\beta_1$ zu finden, gelöst werden. Wie genau weiß ich auch nicht.
+Nun kann mit der Funktion ''minimize'' aus ''scipy.optimize'' das Problem, die besten Werte für $\beta_0$ und $\beta_1$ zu finden, gelöst werden. Wie genau die Lösungsalgorithmen funktionieren weiß ich auch nicht.
+<code python>
+    import matplotlib.pyplot as plt
+    import numpy as np
+    from scipy.optimize import minimize
+    # Quantile - Hier Dezile als Beispiel
+    quantile = np.array([3,5,6,7,8,9,10,12,15,25])/100
+    # Grad der Funktion
+    g = 2
+    # Weitere Variablen, die berechnet werden
+    n = len(quantile)
+    b_0 = 0
+    b_1 = 0
+    def l(xy):
+        b_0, b_1 = xy
+        error = 0
+        for i, element in enumerate(quantile):
+            integral = (b_1 * (((((i+1) / n)**(g+1)) - (((i)/n)**(g+1)))/(g+1)) + b_0 * (1/n))
+            error += (element - integral)**2
+        return error
+    def f(x):
+        return b_1 * (x**g) + b_0
+    res = minimize(l, (1,1), method='L-BFGS-B')     # (1,1) ist der Startwert
+    b_0, b_1 = res.x
+    print(f'Die Funktion lautet: f(x) = {b_1} * x^{g} + {b_0}')
+    print(f'Der Fehlerwert ist : {l(res.x)}')
+    #  Darstellung der Werte
+    x = np.linspace(0, 1, 10)
+    x_quantile = np.linspace(0.05, 0.95, len(quantile))
+    plt.figure()
+    plt.bar(x_quantile, quantile, width=0.1, alpha=0.6, label='Dezile', color='orange', edgecolor='black')
+    plt.plot(x, f(x), label='f(x)')
+    plt.title(rf"$f(x) = {b_1}\, \cdot x^{g} + {b_0}$")
+    plt.legend()
+    plt.show()
+</code>
+Aus der Dichtefunktion lassen sich aber noch keine relativen Werte für die Agenten berechnen. Erstmal kann mit der Dichtefunktion $f$ nur ein absoluter Wert für jeden Agenten berechnet werden. Dazu braucht man einen konstanten Wert, der mit dem Funktoinswert von $f$ multipliziert wird.
+Also für das absolute Einkommen des Agenten ergibt sich:
+$$ Einkommen = f(x) + C $$
+Dabei ist $x$ die realtive Position des Agenten. Wenn der Agent die Position $i$ hat ist $x = \frac{i}{n}$, wobei $n$ die Anzahl von Agenten ist. $C$ ist eine Konstante, die z.B. das durchschnittliche Einkommen pro Person sein könnte.
+Um nun das relative Einkommen zu erhalten, muss nur das absolute Einkommen durch das Gesamteinkommen gerechnet werden. Dadruch ergibt sich das Einkommen der Agenten aus:
+$$ Einkommen_i = \frac{Absolutes Einkommen}{Gesamteinkommen} =  \frac{f(x_i) + C}{\sum_{i=0}^{n} f(x_j) +C } = \frac{f(x_i)}{\sum_{i=0}^{n} f(x_j)} $$
+Das lässt sich sehr einfach mit ''numpy.arrays'' umsetzen. Die gesamte Funktion sieht nun so aus
+<code python>
+def g(n, Q) -> np.ndarray:
+    """Die Funktion berechnet für eine Anzalh an Agenten n und Quantilen Q die passende Verteilung
+    und gibt als Rückgabewert einen Array mit den relativen Werten für jeden Agenten
+    :param n: Anzahl an Agenten bzw. Werten, die Zurückgegeben werden sollen
+    :type n: int
+    :param Q: Liste mit realtiven nicht-kumulierten Quantilwerten
+    :type Q: list
+    :return: Liste mit relativen Werten für jeden Agenten bzw. mit Länge n
+    :rtype: array
+    """
+    array = np.linspace(0.5/n, 1 - 0.5/n, n)  # relative Positionen von jedem Agenten
+    # Variablen zuschreiben
+    g = 2
+    quantile = np.array(Q)/100
+    n = len(quantile)
+    b_0 = 0
+    b_1 = 0
+    # ALTER CODE - VON OBEN KOPIERT
+    def l(xy):
+        b_0, b_1 = xy
+        error = 0
+        for i, element in enumerate(quantile):
+            integral = (b_1 * (((((i+1) / n)**(g+1)) - (((i)/n)**(g+1)))/(g+1)) + b_0 * (1/n))
+            error += (element - integral)**2
+        return error
+    def f(x):
+        return b_1 * (x**g) + b_0
+    # Dichtefunktion f erstellen
+    res = minimize(l, (1,1), method='L-BFGS-B')     # (1,1) ist der Startwert
+    b_0, b_1 = res.x
+    print(f'Die Funktion lautet: f(x) = {b_1} * x^{g} + {b_0}')
+    print(f'Der Fehlerwert ist : {l(res.x)}')
+    # NEUER CODE
+    # relative Werte für jeden Agenten Ermitteln
+    array = f(array)            # Für jedes ELement im Array wird die Funktion angewendet
+    array = array/np.sum(array)    # relative Werte erghalten
+    return array
+</code>

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