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ss17:viele_dinge_fliegen_im_weltall_durcheinander
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ss17:viele_dinge_fliegen_im_weltall_durcheinander [2017/09/06 14:26] studierenderfh98 [Die Teilchenbewegung] |
ss17:viele_dinge_fliegen_im_weltall_durcheinander [2017/09/07 15:16] (aktuell) studierenderfh98 [Die Teilchenbewegung] |
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| Im weiterem verlauf wurde diese Verfahren durch die Leapfrog Methode ausgetauscht, dieses ist ähnlich einfach wie die Eulersche, aber von zweiter Ordnung, d.h. genauer. Die Ordnung ist gleichzusetzen mit der höchsten Ableitung der DGL. Bei Euler wird nur der Ort betrachtet, innerhalb der DGL die Ausgangsfunktion, und die Geschwindigkeit, die Ableitung des Ortes. Während bei Leapfrog ebenfalls noch die Beschleunigung, Ableitung der Geschwindigkeit betrachtet wird.\\ | Im weiterem verlauf wurde diese Verfahren durch die Leapfrog Methode ausgetauscht, dieses ist ähnlich einfach wie die Eulersche, aber von zweiter Ordnung, d.h. genauer. Die Ordnung ist gleichzusetzen mit der höchsten Ableitung der DGL. Bei Euler wird nur der Ort betrachtet, innerhalb der DGL die Ausgangsfunktion, und die Geschwindigkeit, die Ableitung des Ortes. Während bei Leapfrog ebenfalls noch die Beschleunigung, Ableitung der Geschwindigkeit betrachtet wird.\\ | ||
| + | Grundlegend sind numerische Integrationsverfahren Annäherungen an Funktionen mit kontinuierlichen, veränderliche Werten, da für Simulationen diskrete, feste Werte z.B. die Koordinaten, benötigt werden. Die jeweiligen Methoden zur Annäherung an den realen verlauf sind aber nicht perfekt, so kommt es zu Abweichungen. Erklärbar ist dieser Fehler durch den Zeitschritt. Anschaulich erklärbar ist dies durch Vergleich mit dem Integrieren, würde eine feste Unterteilung vorgenommen werden würde die Berechnete Fläche der angenäherten Stufen sichtbar von der tatsächlichen abweichen. Die Verkleinerung der Zeitschritte würde dabei den Fehler nicht einmal unbedingt verringern, da sich die kleineren Abweichungen aufsummieren würden. Ebenso bedeuten kleinere Zeitschritte auch mehr Berechnungen und somit höhere Laufzeiten für die Simulation. Somit bleibt für genauere Werte nur eine Genauere Annäherung bei beliebigen Zeitschritten. Die Genauigkeit dieser Verfahren steigt mit ihrer Ordnung, wobei dies gut durch das Taylor Polymon vorstellbar ist. Das Taylor Polymon erster Ordnung besteht aus einer Funktion am Entwicklungspunkt addiert mit der ersten Ableitung dieser, beim T.P. zweiter Ordnung wird die zweite Ableitung noch dazu addiert usw.. Beide liefern eine Annäherung des Funktionsverlaufes am Entwicklungspunkt, wobei das T.P. zweiten Grades genauer ist als das ersten Grades.\\ | ||
| Bei Leapfrog findet die Berechnung von Ort und Beschleunigung, sowie der Geschwindigkeit einen halben Zeitschritt voneinander entfernt statt. Zuerst wird der Ort während des halben Zeitschrittes berechnet, danach die Geschwindigkeit durch die Beschleunigung aktualisiert und zuletzt der Ort durch die neue Geschwindigkeit im nächst ganzen Zeitschritt bestimmt. Dadurch wird der Ort genauer bestimmt, da der Fehler, welcher bei dem gewähltem Zeitschritt auftritt, durch die Aktualisierung verringert wird. | Bei Leapfrog findet die Berechnung von Ort und Beschleunigung, sowie der Geschwindigkeit einen halben Zeitschritt voneinander entfernt statt. Zuerst wird der Ort während des halben Zeitschrittes berechnet, danach die Geschwindigkeit durch die Beschleunigung aktualisiert und zuletzt der Ort durch die neue Geschwindigkeit im nächst ganzen Zeitschritt bestimmt. Dadurch wird der Ort genauer bestimmt, da der Fehler, welcher bei dem gewähltem Zeitschritt auftritt, durch die Aktualisierung verringert wird. | ||
| $$\vec{x} \left( t + \frac{1}{2} \right) = \vec{x} \left( t \right) + \frac{1}{2} \vec{v} \left( t \right) dt $$ | $$\vec{x} \left( t + \frac{1}{2} \right) = \vec{x} \left( t \right) + \frac{1}{2} \vec{v} \left( t \right) dt $$ | ||
ss17/viele_dinge_fliegen_im_weltall_durcheinander.1504700768.txt.gz · Zuletzt geändert: 2017/09/06 14:26 von studierenderfh98
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